\(u_n=\frac{n+1}{n-1}u_{n-1}\)

\(u_{n-1}=\frac{n-1+1}{n-1-1}u_{n-2}=\frac{n}{n-2}u_{n-2}\)

\(u_{n-2}=\frac{n-1}{n-3}u_{n-3}\)

...

\(u_2=\frac{2+1}{2-1}u_1\)

Nhân vế với vế:

\(u_nu_{n-1}u_{n-2}...u_2=\frac{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)...3}{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)...1}u_{n-1}u_{n-2}u_{n-3}...u_1\)

\(\Leftrightarrow u_n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}u_1=n\left(n+1\right)\)

\(u_n< 100\Rightarrow n^2+n< 100\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-100< 0\Rightarrow n\le9\Rightarrow n=\left\{1;2;...;9\right\}\)

Dãy số này sai, \(u_3\) không xác định, do đó ko thể truy hồi được từ \(u_4\) trở đi

Muốn dãy số xác định thì \(n>4\)

Dãy là CSC với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=3\\d=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u_n=3+\left(n-1\right)4=4n-1\)

\(\Rightarrow4n-1< 100\Rightarrow n\le25\)

\(u_1=1\)

\(u_2=1\)

\(u_3=u_2+u_1=1+1=2\)

\(u_4=u_3+u_2=2+1=3\)

\(u_5=u_4+u_3=3+2=5\)

Hiện tại mới nghĩ được câu b thôi

b/ \(u_1=\dfrac{1}{2};u_2=\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3};u_3=\dfrac{1}{2-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}...\)

Nhận thấy \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\) , ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp

\(n=k\Rightarrow u_k=\dfrac{k}{k+1}\)

Chứng minh cũng đúng với \(\forall n=k+1\)

\(\Rightarrow u_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}\)

Ta có: \(u_{k+1}=\dfrac{1}{2-u_k}=\dfrac{1}{2-\dfrac{k}{k+1}}=\dfrac{k+1}{k+2}\)

Vậy biểu thức đúng với \(\forall n\in N\left(n\ne0\right)\)

\(\Rightarrow limu_n=lim\dfrac{n}{n+1}=lim\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=1\)